同常微分方程(ODE)类似, 可以通过分析线性时滞微分方程的特征方程[1]来分析和研究解的性质.
具有离散时滞的线性时滞微分方程
d
d
t
x
(
t
)
=
A
0
x
(
t
)
+
A
1
x
(
t
−
τ
1
)
+
…
+
A
m
x
(
t
−
τ
m
)
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\ldots +A_{m}x(t-\tau _{m})}
的特征方程是
d
e
t
(
−
λ
I
+
A
0
+
A
1
e
−
τ
1
λ
+
…
+
A
m
e
−
τ
m
λ
)
=
0
{\displaystyle det(-\lambda I+A_{0}+A_{1}e^{-\tau _{1}\lambda }+\ldots +A_{m}e^{-\tau _{m}\lambda })=0}
.
特征方程的根 λ 被称为特征根或特征值, 解集通常被称为谱. 与常微分方程不同, 时滞微分方程的特征方程含有指数, 具有无限个特征值, 使得谱分析变得很困难, 但是谱对于 DDE 的分析仍然具有一些很好的性质. 例如, 虽然具有无限个特征值, 但是只有有限个特征值位于复平面的右侧.
特征方程是一个非线性特征问题, 有许多计算谱的数值方法[2]. 少数的特殊情况可以显式地求解特征方程. 例如, 时滞微分方程
d
d
t
x
(
t
)
=
−
x
(
t
−
1
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=-x(t-1).}
的特征方程是
−
λ
−
e
−
λ
=
0.
{\displaystyle -\lambda -e^{-\lambda }=0.\,}
这个方程对于变量 λ 有无穷多个复数解. 复解可表示为
λ
=
W
K
(
−
1
)
{\displaystyle \lambda =W_{K}(-1)}
,
其中
W
K
{\displaystyle W_{K}}
是朗伯W函数的第 K 个分支.